Wektory liniowo niezależne

Najbardziej ogólny schemat sprawdzania czy dana rodzina wektorów $\vec{v_1},\vec{v_2},\ldots,\vec{v_p}$ jest liniowo niezależna wygląda jak następuje: Rozważamy równanie

\begin{displaymath}\lambda_1 \vec{v_1}+ \lambda_2 \vec{v_2}+\ldots+
\lambda_p \vec{v_p} =\vec{0}. \leqno (*)\end{displaymath}

Jest oczywiste, że równanie to ma rozwiązanie zerowe tzn., że ciąg liczb $\lambda_1=\lambda_2=\ldots=\lambda_p=0$ jest jego rozwiązaniem. Jeżeli jest to jedyne rozwiązanie równania (*), to oznacza to, że wektory są liniowo niezależne. Jeśli równanie (*) ma także rozwiązania niezerowe, to wektory są liniowo zależne.

W szczególnym, ale ważnym przypadku, gdy mamy do czynienia z $n$ wektorami z ${I\!\!R}^{n}$ możemy stosować poniższe kryterium, które sformuujemy dla $n=3$. Twierdzenie.  Trzy wektory $\vec{v_1}=(x_1,y_1,z_1)$, $\vec{v_2}=(x_2,y_2,z_2)$ i $\vec{v_3}=(x_3,y_3,z_3)$ są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy

\begin{displaymath}\det\left[\begin{array}{ccc}
x_{1}&x_{2} & x_{3}\\
y_{1}&y...
...& y_{3}\\
z_{1}&z_{2} & z_{3}\\
\end{array}
\right]\neq 0.\end{displaymath}