Kąt między wektorami

Iloczyn skalarny pozwala na wprowadzenie jeszcze jednego ważnego pojęcia, a mianowicie kąta między wektorami w ${I\!\!R}^{n}$. W przypadku gdy potrafimy sobie wyobrazić ciągi liczb jako współrzędne "prawdziwych wektorów", kąt ten jest "prawdziwym kątem". W przestrzeniach o większej liczbie wymiarów jest to sposób mówienia.

Z nierówności Schwarza wynika, że wyrażenie

\begin{displaymath}\frac {\vec {x}\cdot\vec {y}}{\Vert\vec {x}\Vert\cdot\Vert\vec {y}\Vert}\end{displaymath}

jest zawarte między $-1$ a $1$. Istnieje zatem dokładnie jedna liczba $\varphi$ należąca do przedziłu $[0,\pi ]$ taka, że:

\begin{displaymath}\frac {\vec {x}\cdot\vec {y}}{\Vert\vec {x}\Vert\cdot\Vert\vec {y}\Vert}=\cos
\varphi .\end{displaymath}

Liczbę tę nazywamy kątem między wektorami. W szczególności, jeśli $\varphi =\pi /2$, to wektory nazywamy prostopadłymi lub (nieco bardziej oficjalnie) ortogonalnymi. Z definicji tych wynika natychmiast, że: $\vec {x}\cdot\vec {y}=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy wektory są prostopadłe.