Całkowanie przez części

Przypomnijmy wzór na pochodną iloczynu: $(fg)'=f'g+fg'$. Zapiszmy go w postaci:

\begin{displaymath}f'g=(fg)'-fg'.\end{displaymath}

Stąd, oraz z definicji całki wynika natychmiast wzór
$\ds \int f'g \,dx= fg - \int fg' \,dx ,$
który stanowi podstawę metody całkowania zwanej całkowaniem przez części. Polega ona na zapisaniu funkcji podcałkowej w postaci iloczynu $f'g$ i zastosowaniu powyższego wzoru.
\begin{prz}
\item $\ds \int xe^x \,dx=\int x(e^x)' \,dx=xe^x-\int e^x \,dx=xe^x...
...czyn
$1\cdot \ln x$, a~następnie $1$\ zapisaliśmy w~postaci $(x)'$.
\end{prz}
Spróbujmy zrobić jeszcze raz przykład 1 przyjmując, że to $x$ jest pochodną. Mamy zatem:

\begin{displaymath}\ds \int xe^x \,dx=\int (\frac{x^2}{2})'e^x \,dx=\frac{x^2}{2}-\int \frac{x^2}{2}e^x \,dx.\end{displaymath}

Wzór ten jest wprawdzie prawdziwy, ale nie ma z niego większego pożytku, bo całka po prawej stronie bynajmniej nie jest prostsza od całki po lewej stronie. Wynika stąd, że całkowanie przez części nie zawsze jest skuteczne.