Wzór rekurencyjny

Kolejna metoda całkowania polega na wyrażeniu jednych całek przez inne. Jako przykład wyprowadzimy ważny dla nas wzór rekurencyjny. Oznaczmy przez $I_n$ całkę $\ds \int \frac{dx}{(1+x^2)^n} $. Zachodzi następujący wzór (dla $n\geq 2$):
\fbox{$\ds I_n =\frac{1}{2n-2}\cdot\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2n-2}I_{n-1} $}
Zauważmy, że ponieważ wiemy, że $I_1=\arctan x$, to powyższy wzór pozwala nam istotnie wyliczyć $I_n$ dla dowolnego $n$ naturalnego.