Pochodna sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu

Niech funkcje $u$ i $v$ będą funkcjami różniczkowalnymi określonymi na przedziale $I$. Wtedy funkcje $u+v$, $u-v$ i $u\cdot v$ też są różniczkowalne. Jeśli $\forall x\in I, v(x)\neq 0$ to $\frac{u}{v}$ też jest a. Ponadto zachodzą wzory:

\begin{displaymath}(u+v)'=u'+v'\end{displaymath}


\begin{displaymath}(u-v)'=u'-v'\end{displaymath}


\begin{displaymath}(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'\end{displaymath}


\begin{displaymath}(\frac{u}{v})'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}\end{displaymath}

Warto zapamiętać osobno jeden szczególny przypadek. Ponieważ pochodną funkcji stałej jest funkcja identycznie równa zero, to ze wzoru na pochodną iloczynu wynika, że:

\begin{displaymath}(\alpha \cdot v)'=\alpha \cdot v'\end{displaymath}

Wzór ten, wraz ze wzorem na pochodną sumy oznacza po prostu, że Operacja różniczkowania jest liniowa.